Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo simbólico

Encontrando valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales (A - I) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:




La función p( ) = det(A - I) es un polinomio de pues los determinante se definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación pA( ) = 0.

Si A es una matriz n×n, entonces pA tiene grado n y A tiene al menos n valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

Encontrando vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios , los vectores propios se pueden hallar resolviendo:




Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:




cuyo polinomio característico es 2 + 1 y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo

Considérese la matriz




que representa un operador lineal R³ ! R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:







y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico.

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que




Cálculo numérico [editar]

En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no se calculan usando el polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5 o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas. Existen algoritmos eficientes para aproximar raíces de polinomios, pero pequeños errores en la estimación de los valores propios pueden dar lugar a errores grandes en los vectores propios. En consecuencia, los algoritmos generales para encontrar vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil es el método de las potencias: se escoge un vector aleatorio v y se calcula una secuencia de vectores unitarios:


,
,
, ...

Esta secuencia casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al mayor valor propio. Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado útil aisladamente. Sin embargo, hay métodos más populares, como la descomposición QR, que se basan en él

Valores propios de una matriz cualquiera

Si es complejo, entonces u es complejo.

Los valores propios de B = C"1AC son los mismos de A. Si x es el vector propio asociado a , entonces Cx es un vector propio de B asociado a .