VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

Valores y vectores característicos

Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de
la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar (posiblemente cero) tales que




entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c.

Ecuación del valor propio o autovalo

Matemáticamente, v es un vector propio y el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:




donde T(v ) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a v .

Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que
para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y v pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna v —un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en esta representación matricial se representa de la siguiente forma:




donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo T para la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de la base. En esta ecuación, tanto el valor propio y las n componentes de v son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de vector propio en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerda mostrada anteriormente. Dependiendo de la naturaleza de la transformación T y el espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de valor propio como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los vectores propios reciben a menudo el nombre de funciones propias del operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)




Considérese la diferenciación con respecto a t. Sus funciones propias h(t) obedecen a la ecuación de valor propio:


,

donde es el valor propio asociado con la función. Una función en el tiempo es constante si = 0, crece proporcionalmente a sí misma si es positiva, y decrece proporcionalmente a sí misma si es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más frecuencia a medida que hay más conejos, y por tanto satisface la ecuación para lambda positivo.

La solución a la ecuación de valor propio es g(t) = exp( t), la función exponencial; pues esa función es una función propia del operador diferencial d/dt con el valor propio . Si es negativa, la evolución de g se denomina decaimiento exponencial; si es positiva se denomina crecimiento exponencial. El valor de puede ser cualquier número complejo. El espectro de d/dt es entonces el plano complejo en su totalidad. En este ejemplo el espacio vectorial en el que actúa d/dt es el espacio de las funciones derivables de una variable. Este espacio tiene una dimensión infinita (pues no es posible expresar cada función diferenciable como combinación lineal de un número finito de funciones base). No obstante, el espacio propio asociado a un valor propio determinado es unidimensional. Es el conjunto de todas las funciones g(t) = Aexp( t), donde A es una constante arbitraria, la población inicial en t=0.

Valor propio


Se dice que el número , real l o complejo, es un valor propio A si existe un vector no nulo u, real o complejo tal que Au = u, es decir (A " I )u = 0

Propiedades de los valores propios

Definición 3 Dos matrices n×n, A y B, se dicen semejantes si existe una matriz invertible P tal que A = P"1BP.

Teorema 3 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por consiguiente, los mismos valores propios.

Definición 4 Una matriz A se dice diagonalizable (por semejanza) si es semejante a una matriz diagonal.

Teorema 4 Una matriz A, n × n, es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.

Teorema 5 La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz, es decir, 1 + 2 + · · · + n =aii.

Teorema 6 El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de la matriz.

Teorema 7 Los valores propios de una matriz triangular son los coeficientes de su diagonal principal.

Teorema 8 Una matriz A es singular si y solo si tiene un valor propio igual a cero.

Teorema 9 Si los valores propios de una matriz A son i, 0 " i " n, los valores propios de la matriz A " I son i " , 0 " i " n.

Los vectores propios de A y A " I son idénticos.

Teorema 10 Los valores propios de las potencias de una matriz A son las correspondientes potencias; los vectores propios son los mismos.


Vector propio

El vector u se denomina vector propio de A asociado al valor propio .