Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonaL

Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonaL

Valores propios de matrices simétricas

Si D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A, entonces existe una matriz ortogonal Q tal que D = Q"1AQ = QtAQ.

Asimismo, existen n vectores propios de A que forman un conjunto ortonormal, y coinciden con las columnas de la matriz ortogonal Q.

Todos los valores propios de A son reales.

A es definida positiva si y sólo si todos los valores propios de A son positivos.

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P-1 La matriz P se llama matriz de paso. Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Observación: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. El siguiente teorema establece cuando una matriz es diagonalizable. TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

1 0 … 0

0 2 0 … 0

0 0 3 … 0

D = . . . .

0 0 0 … n

Donde 1, 2,….. , n son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C-1AC Una matriz diremos que es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa.

P ortogonal <=> P-1 = Pt

Si P= (u1|u2|…|un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores {u1, u2,…, un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal.

Diagonalización ortogonal

Una matriz diremos que es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa.







Si
resulta que decir que
es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores
son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y simétricas podemos dar una diagonalización donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalización ortogonal