DIAGONALIZACION DE MATRICES, POTENCIAS Y RAICES

Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices

¿Qué es diagonalizar una matriz?

Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que

A = P D P-1

La matriz P se llama matriz de paso.

Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuadricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.

La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta, matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. En estas prácticas sólo consideraremos como diagonalizables las matrices que sean semejantes a una matriz diagonal real. Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?

Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1, entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = li xi (donde xi es la columna i de A y li es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:

Si un número l y un vector no nulo x verifican la relación A x = l x diremos que l es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado al valor propio l.

Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.

Sea
una matriz de orden
. Se dice que
es una matriz diagonal si
para
. Sea
una transformación lineal de un espacio
de dimensión finita
. Se dice que
es diagonalizable si existe una base
en
tal que
es una matriz diagonal. Una matriz
de orden
se dice que es diagonalizable si
es similar a una matriz diagonal. Teniendo en cuenta que matrices que representen la misma transformación lineal son similares, se tiene el siguiente resultado.

Proposición 3. Sea
una transformación lineal de un espacio
de dimensión finita
y sea
una base cualquiera de
. Entonces,
es diagonalizable si y sólo si
es diagonalizable.

En términos de vectores propios se tiene el siguiente criterio obvio de diagonalización.

Teorema 1. Sea
una transformación lineal de un espacio
de dimensión finita

es diagonalizable si y sólo si
tiene una base constituida por vectores propios.

Según la Proposición 1 y el Corolario 2 se tiene el siguiente corolario.

Corolario 3. Sea
una matriz cuadrada de orden
. Entonces,

a)
es diagonalizable si y sólo si
tiene
vectores propios L I


b) Si
tiene
valores propios diferentes, entonces
es diagonalizable.

El recíproco de la parte b) del corolario anterior no siempre se cumple: la matriz idéntica
es diagonal, sin embargo sus
valores propios coinciden y son iguales a
.

Proposición 4. Sea
una transformación lineal de un espacio
de dimensión finita
Sean
los valores propios diferentes para
,
, y
los subespacios propios correspondientes. Entonces, la suma
es directa. En consecuencia,




Demostración

Podemos probar ahora un criterio de diagonalización en términos del polinomio característico y de los espacios propios.

Teorema 2. Sea
una transformación lineal de un espacio
de dimensión finita
Sean
los valores propios diferentes para
,
, y
los subespacios propios correspondientes. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

a)
es diagonalizable.

b) El polinomio característico de
es de la forma




donde


c)


d)


Demostración

Ejercicio 1. Determinar si las siguientes matrices son diagonalizables. En caso afirmativo encontrar una matriz que diagonalice:




Ejercicio 2. Determinar los valores y vectores propios del operador derivación sobre el espacio
. ¿Es este operador diagonalizable?

Ejercicio 3. Sean
y
matrices cuadradas de orden
y
, respectivamente. Demuestre que el polinomio característico de la matriz




es


Ejercicio 4. Sea
una matriz de orden
y
un polinomio cualquiera. Demuestre que si
es diagonalizable, entonces
es diagonalizable.

Ejercicio 5. Sea
una matriz de orden
tal que
para cada
Demuestre que
es un valor propio de
.

Solución. Sea
un vector propio de la matriz
correspondiente al valor propio
. Entonces
, se obtiene entonces que para cada
se cumple
. Nótese que si todas las entradas del vector
son iguales entonces todas las ecuaciones anteriores se satisfacen. Entonces, siendo
cualquier elemento no nulo de
se cumple que para
se satisface
, y así
es un vector propio de
con valor propio
.

Método de Potencia.

Considere una matriz cuadrada A. Los valores y vectores propios satisfacen la ecuación




donde
es el i-ésimo valor propio y
es el i-ésimo vector propio. Si
es una matriz simétrica, algunos valores propios pueden ser complejos.

Supongamos que


,

el método de potencia se inicia con un vector propio inicial.




y las iteraciones subsecuentes son




con