TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON

Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley"Hamilton establece que cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica: Si p( ) = det( " ) es el polinomio característico de A, entonces p(A) es la matriz nula.

Entre las diversas demostraciones del teorema hemos encontrado en R. Bellman (1965) una puramente algebraica, que es la que detallamos, con algún matiz, en nuestro trabajo.

El interés de la demostración radica en la utilidad que puede tener para nuestros alumnos de primer curso, la exposición de un desarrollo lógico basado en sus conocimientos básicos de cálculo matricial. También es inmediato y puede ser igualmente útil calcular, a partir del teorema, la inversa de A, cuando A sea no singular.

Sea p( ) = ( " 1) n n+ cn"1 n"1+ cn"2 n"2+ ... + c2 2 + c1 + c0 el polinomio característico de una matriz A de orden n. Entonces p(A) = ( " 1) n n + cn"1 n"1 + cn"2 An"2 + ... + c1 A + c0 I es la matriz nula. Es decir, cada matriz cuadrada A satisface su ecuación característica p(A) = 0.

Nota: A es una matriz de orden n con elementos en un cuerpo K; por tanto, los coeficientes ci del polinomio característico det( " ) pertenecen a dicho cuerpo K.

Demostración

Por las propiedades de las matrices se cumple que:

(A " I) Adj(A " I) t = p( )I

donde Adj(A " I) t es la matriz transpuesta de la matriz de los adjuntos de los elementos respectivos de la matriz A " I y p( ) = det( " ) es el polinomio característico de la matriz A.

Si denotamos B( ) = Adj(A " I)t, entonces B( ) es una matriz polinómica en , de grado n"1, que se puede escribir como:

B( ) = n"1 n"1+ n"2 n"2+ ... + 2 2 + 1 + 0

donde cada i es una matriz de orden n, con elementos en el cuerpo K. Entonces el producto (A " I) B( ) vale:

(A " I) B( ) = (A " I )( n"1 n"1+ n"2 n"2+ ... + 2 2 + 1 + 0) = " Bn"1 n + ( n"1 " n"2) n"1+( n"2 " n"3) n"2+ ... + ( 2 " 1) 2 + ( 1 " 0) + 0

Por otro lado p( ) I es la matriz polinómica:

p( ) I = ( " 1) n I n+ cn"1 I n"1+ cn"2 I n"2+ ... + c2 I 2 + c1 I + c0 I

Luego, igualando las matrices polinómicas, con elementos en el dominio K( ), (A " I) B( ) = p( ) I, se deduce que:

" n"1 = ( " 1) n I

n"1 " n"2 = cn"1 I

n"2 " n"3 = cn"2 I

.

.

.

AB2 " 1= c2 I

1 " 0= c1 I

0 = c0 I

Si vamos sustituyendo cada matriz Bi en la siguiente ecuación hasta llegar a la penúltima resulta:

" n"1 = ( " 1) n I

" n"2 = ( " 1) n A + cn"1 I

" n"3 = ( " 1) n A2 + cn"1 A + cn"2 I

" n"4 = ( " 1) n A3 + cn"1 A2 + cn"2 A + cn"3 I

ÛÜ

- B2= (-1)n An"3 + cn"1 An"4 + cn"2 An"5 + ...+ c4 A + c3 I

" 1= ( " 1) n An"2 + cn"1 An"3 + cn"2 An"4 + ...+ c3 A + c2 I

0 = ( " 1) n An"1 + cn"1 An"2 + cn"2 An"3 + ...+ c2 A + c1 I

Entonces sustituyendo 0 en la última ecuación 0 = c0 I se obtiene:

" 0 = ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A = " c0 I

Por tanto, ( " 1) n An + cn"1 An"1 + cn"2 An"2 + ...+ c2 A2 + c1 A + c0 I = 0. Es decir, p(A) = 0 c.q.d.